„Mein großer Bruder kommt in endlich die ‚Folgschule‘, dort lernt er hoffentlich der Mama und dem Papa folgen.“ – Maxi, 5 Jahre
Zahlen lassen sich zu Folgen gruppieren, in denen beliebig viele Elemente hintereinander aufgereiht werden. Eine Zahl folgt einer anderen, die Reihenfolge ist wichtig.
\(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, … x_{n-1}, x_n, x_{n+1}, …\)Die Elemente \(x_n\) heißen auch Folgeglieder. Ein einfaches Beispiel sind die natürlichen Zahlen ℕ: \(1, 2, 3, 4, 5, …\)
Jedes Element \(x_n\) der Folge kann man der Reihe nach je einer natürlichen Zahl \(n\) zuordnen – die Folgeglieder werden durchnummeriert.
Lassen sich die Zahlen der Folge berechnen, so gibt es dafür zwei Möglichkeiten:
- rekursiv: Eine Zahl einer Folge lässt sich nach einer Vorschrift aus vorhergehenden Elementen der Folge berechnen.
- geschlossen: Jede Zahl lässt sich aus der ersten Zahl und/oder ihrer Nummer berechnen.
Aufgabenstellung
Es sind in einer Tabelle Zahlenfolgen zu erzeugen, die vorgegebenen Bildungsgesetzen entsprechen.
Beispiele
Arithmetische Folge
Bei der arithmetischen Folge ist die Differenz zweier aufeinander folgender Zahlen immer gleich. Man benötigt für sie eine Startzahl \(a_1\) und die Differenz \(d\).
Konkretes Beispiel:
Für \(a_1 = 4\) und \(d = 3\) erhält man die Folge: \(4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, …\)
Rekursive Berechnung
- \(n=1\): Erstes Element ist \(a_1\)
- \(n>1\): Jedes weitere Element \(a_n\) ergibt sich aus dem vorangegangenen durch Addition von \(d\): \(a_n=a_{n-1}+d\)
Geschlossene Berechnung
- \(a_n=a(n)=a_1+(n-1)\cdot d\)
Anleitung für die Tabellenkalkulation
| Zelle | Inhalt |
 Arithmetische Folge mit einer Tabellenkalulation |
|---|---|---|
| A1 | Überschrift: Arithmetische Folge |
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| A2 | Text: Startzahl |
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| B2 | Eingabefeld für die Startzahl | |
| A3 | Text Differenz |
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| B3 | Eingabefeld für die Differenz | |
| C2 | Text n = |
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| D2 | Eingabefeld für die Nummer eines Folgeglieds | |
| C3 | Formel: ="a("&D2&")=" setzt eine Zeichekette zusammen, die die Nummer beinhaltet. |
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| D3 | Formel zur Berechnung des `n`-ten Glieds: =B2+(D2-1)*B3 |
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| B5 | Text n als Spaltenüberschrift |
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| C5 | Text an als Spaltenüberschrift |
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| B6 | Spalte nach unten automatisch ausfüllen zur Nummerierung | |
| C6 | Formel =B2 übernimmt die Startzahl |
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| C7 | Formel: =C6+B$3 rekursive Berechnung der Folgeglieder – nach unten automatisch ausfüllen |
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Geometrische Folge
Bei der geometrischen Folge ist das Verhältnis bzw. der Quotient zweier aufeinander folgender Zahlen immer gleich. Man benötigt für sie eine Startzahl \(b_1\) und den Quotient \(q\).
Konkretes Beispiel:
\(b_1=4\) und \(q=3\) ergibt die Folge: \(4, 12, 36, 108, 324, …\)
Rekursive Berechnung:
- \(n=1\): Erstes Element ist \(b_1\)
- \(n=1\): Jedes weitere Element \(b_n\) ergibt sich aus dem vorangegangenen durch Multiplikation mit \(q\): \(b_n=b_{n-1}\cdot q\)
Geschlossene Berechnung
- \(b_n=b(n)=b_1\cdot q^{n-1}\)
Anleitung für die Tabellenkalkulation
| Zelle | Inhalt |
 Geometrische Folge mit einer Tabellenkalulation |
|---|---|---|
| A1 | Überschrift: Geometrische Folge |
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| A2 | Text: Startzahl b1 = |
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| B2 | Eingabefeld für die Startzahl | |
| A3 | Text Quotient q = |
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| B3 | Eingabefeld für den Quotienten | |
| C2 | Text n = |
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| D2 | Eingabefeld für die Nummer eines Folgeglieds | |
| C3 | Formel: ="b("&D2&")=" setzt eine Zeichenkette zusammen, die die Nummer beinhaltet. |
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| D3 | Formel zur Berechnung des \(n\)-ten Glieds: =B2*B3^(D2-1)Mit dem Symbol ^ wird potenziert. |
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| B5 | Text n als Spaltenüberschrift |
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| C5 | Text bn als Spaltenüberschrift |
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| B6 | Spalte nach unten automatisch ausfüllen zur Nummerierung | |
| C6 | Formel =B2 übernimmt die Startzahl |
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| C7 | Formel: =C6*B$3 rekursive Berechnung der Folgeglieder – nach unten automatisch ausfüllen |
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Dreieckszahlen
Dreieckszahlen entstehen, wenn man Kreise in der nebenstehenden Weise anordnet und dann abzählt:
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| 1 | 3 | 6 | 10 | 15 |
- erstes Element: \(1\)
- jedes Element: Summe des vorhergehenden Elements und der aktuellen Nummer.
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zur geschlossenen Formel für die Dreieckszahlen
rekursive Berechnung:
\(n=1\): \(x_1=1\)
\(n>1\): \(x_n=x_{n-1}+n\) - geschlossene Formel: \(x_n=\frac{n\cdot (n+1)}{2}\). Diese Formel kann durch die nebenstehende Skizze hergeleitet werden.
- Beginn der Folge: \(1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, …\)`
- Die Differenzen zweier jeweils aufeinanderfolgender Elemente ergeben der Reihe nach die Folge der natürlichen
Zahlen. - weitere Informationen
Anleitung für die Umsetzung mit der Tabellenkalkulation:
| Zelle | Inhalt |
 Dreieckszahlen mit einer Tabellenkalkulation |
|---|---|---|
| A1 | Überschrift: Dreieckszahlen |
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| A2 | Text: Startzahl |
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| B2 | Eingabefeld für die 1. Startzahl | |
| C2 | Text n = |
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| D2 | Eingabefeld für die Nummer eines Elements | |
| C3 | Formel: ="x("&D2&")=" setzt eine Zeichekette zusammen, die die Nummer beinhaltet. |
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| D3 | Formel zur Berechnung des n-ten Elements: =D2*(D2+1)/2 |
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| B5 | Text n als Spaltenüberschrift |
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| C5 | Text xn als Spaltenüberschrift |
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| B6 | Spalte nach unten automatisch ausfüllen zur Nummerierung | |
| C6 | Formel =B2 übernimmt die 1. Startzahl |
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| C7 | Formel: =C6+B7 rekursive Berechnung der Folgeglieder – nach unten automatisch ausfüllen |
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Erweiterung: Die Summe der Dreieckszahlen ergibt die sogenannten Pyramidenzahlen. Dabei kann man sich vorstellen, dass Kugeln in Form eines Tetraeders aufgeschlichtet werden.
Folge der Fakultäten
Die Fakultät einer Zahl \(n\) ist \(n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot …\cdot n\)`, wobei zusätzlich die Definition \(0!=1\) gilt.
Das ergibt die Folge: \(1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, …\)
Rekursive Berechnung:
\(n!=\left\{\begin{array}{cr}
1 & {\text{ für } n=0} \\
n\cdot (n-1)! & {\text{ für } n>0} \\
\end{array}
\right.\)
Geschlossene Berechnung
\(n!=\left\{\begin{array}{cr}
1 & {\text{ für } n=0} \\
\prod_{i=1}^{n}{i} & {\text{ für } n>0} \\
\end{array}
\right.\)
Anleitung für die Tabellenkalkulation:
| Zelle | Inhalt |
 Fakultät mit der Tabellenkalkulation |
| A1 | Überschrift: Fakultät |
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| A2 | Text n als Spaltenüberschrift |
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| B2 | Text n! als Spaltenüberschrift |
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| A3 | Eingabe 0 – automatisch nach unten ausfüllen |
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| B3 | Eingabe 1 |
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| B4 | Formel =B3*A4 rekursive Berechnung der Folgeglieder – nach unten automatisch ausfüllen |
Es gibt natürlich die fertige Funktion =FAKULTÄT(Zelle), die man auch verwenden kann.
Collatz-Folge
Diese interessante Folge hat folgendes Bildungsgesetz:
- erstes Element: Startzahl \(1\)
- jedes weitere Element ist …
- falls der Vorgänger gerade ist: … die Hälfte des Vorgängers;
- falls der Vorgänger ungerade ist: … das Dreifache des Vorgängers plus 1;
- Formel:
- für \(n=1\): \(x_1=1\)
- für \(n>1\) und \(x_{n-1}\) gerade: \(x_n = \frac{x_{n-1}}{2}\)
- für \(n>1\) und \(x_{n-1}\) ungerade: \(x_n = 3\cdot x_{n-1}+1\)
- Die Folge beginnt: \(1, 4, 2, 1, 4, …\)
Diese Folge läuft offensichtlich zyklisch, d.h. die Folge \(1, 4, 2\) wiederholt sich laufend.
Ein anderes Verhalten zeigt sich, wenn man die Startzahl verändert. Für \(x_1=2\) ergibt sich zunächst wieder der gleiche Zyklus \(2, 1, 4\).
Für \(x_1=3\) beobachtet man einen anderen Verlauf:
\(3, 10, 5, 16, 8, …\)
Mit dem 6. Element geht sie wieder in den Zyklus \(4, 2, 1\) über.
Beginnt man mit einer höheren Startzahl, etwa 27, dann erhält man
\(27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, …\)
Diese Beobachtungen werfen einige Fragen auf:
- Erhält man mit jeder Startzahl einmal den Zyklus \(4, 2, 1\)?
- Gibt es noch andere Zyklen als \(4, 2, 1\)?
- Gibt es Zahlen, die in gar keinen Zyklus kommen, d.h. immer weiter wachsen?
Die Antworten auf diese Fragen sind nicht bekannt.
Um die Eigenschaften der Collatz-Folge für einzelne Startzahlen zu untersuchen, werden folgende Fragen gestellt:
- Nach wie vielen Elementen gerät die Folge in den Zyklus \(4, 2, 1\)?
- Welches ist das größte Element der Folge bis zum Zyklus \(4, 2, 1\)?
Diese Fragen könnte man theoretisch mit Bleistift und Papier beantworten. Das wäre allerdings, je nach Startzahl, ausgesprochen mühsam. Statt dessen kann man eine Tabellenkalkulation einsetzen.
- eine Zelle (B2) für die Startzahl;
- in den darunterliegenden Zellen nach der obenstehenden Vorschrift die jeweils nächste Zahl ausgeben;
- in der Spalte C daneben kontrollieren, ob die Folge 4-2-1 beginnt;
mehr Infos
Weitere Beispiele
- Fibonacci-Zahlen
- Zahl π
- Weitere Folgen und Bildungsgesetze gibt es hier: Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen
Inhalte:
- Folgen, Bildungsgesetze
- rekursive und geschlossene Berechnungen
- absolute und relative Zellbezüge