Die Zahl π ist eine besondere Zahl. Zu ihren Eigenschaften und Besonderheiten wird auf die Links unten verwiesen. Hier werden nur einige Möglichkeiten aufgeführt, diese Zahl zu berechnen.
Die meisten Berechnungen basieren auf unendlichen Folgen oder Reihen, die gegen π konvergieren. Folgende Beispiele können mittels Tabellenkalkulation modelliert und näher untersucht werden:
Alternierende Reihe:
\(\frac{\pi}{4}=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\cdot\frac{1}{2k-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+…\)
Reihe reziproker Quadratzahlen:
\(\frac{\pi^2}{6}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+…\)Rekursive Folge mit
\(z_1=2\text{ und } z_{n+1}=2-\sqrt{4-z_n}\)zwei kombinierte Folgen
Start mit \(z_1=0\text{ und } z_{n+1}=\sqrt{2+z_n}\)
Die davon abhängige Folge \(p_1=2\text{ und } p_{n+1}=\frac{2\cdot p_n}{z_{n+1}}\)
konvergiert gegen \(π\).
unendliches Produkt
\(\frac{\pi^2}{6}=\prod_{p=2}^{\infty}\frac{p^2}{p^2-1}=\frac{4}{3}\cdot\frac{9}{8}\cdot\frac{25}{24}\cdot\frac{49}{48}…,\) wobei \(p\) Primzahlen sind. ist.
Monte-Carlo-Methode
Eine ganz andere Möglichkeit besteht darin, mittels Monte-Carlo-Methode die Zahl π zu ermitteln:
Ein kreisrunder Kuchen (pie) passt gerade auf einen quadratischen Teller. (Ein Mathematiker würde sagen: Ein Kreis ist in ein Quadrat eingeschrieben.) Dann lässt man zufällig viele Streusel auf das Quadrat „regnen“. Anschließend zählt man die Streusel, die auf dem Kuchen gelandet sind. Das Verhältnis der Gesamtzahl der Streusel zur Zahl jener auf dem Kuchen entspricht dem Verhältnis der Flächeninhalte von Teller und Kuchen. Nach dem Gesetz der großen Zahlen (relative Häufigkeit) liegt der Wert für sehr viele Streusel in der Nähe von \(\frac{4}{\pi}\).
Mit einer Tabellenkalkulation kann man unter Verwendung des Zufallszahlengenerators Punkte in ein xy-Diagramm „regnen“ lassen:
Monte Carlo Methode zur Bestimmung von pi
Inhalte:
- ZUFALLSZAHL
- WENN
- ZÄHLENWENN
- bedingte Formatierung
- xy-Punkt-Diagramm