Aus der Wertetabelle einer Funktion \(y(x)\) lassen sich die Differenzen \(\Delta x\) und \(\Delta y\) zwischen zwei Punkten berechnen. Die erste Ableitung \(y’=\frac{\Delta y}{\Delta x}\) kann dann neben der Funktion selbst grafisch in einem \(xy\)-Diagramm dargestellt werden.
1. Ableitung einer quadratischen Funktion
\(y(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\)Dazu kann auch die Extremstelle \(x=-\frac{b}{2\cdot a}\)und der Extremwert berechnet und eingezeichnet werden.
1. Ableitung einer kubischen Funktion
Gegeben ist die Funktion: \(y(x)=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d\)
Das Filmchen zeigt Schritt für Schritt den Aufbau der Tabelle in LibreOffice Calc.
Für die Extremstellen gilt:
\(x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-3ac}}{3a}\) und \(x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-3ac}}{3a}\)
Neben den Extremstellen kann auch noch die Wendestelle berechnet werden, die genau in der Mitte zwischen den beiden Extremwerten liegt.
Das Arbeitsblatt im folgenden Bild ist etwas anders gestaltet, als jenes im Video.
Außerdem kann man die Genauigkeit verbessern, indem man für die Differenzen bzw. die Differenzenquotienten eine eigene x-Spalte einführt, die jeweils die Mittelwerte der Stützstellen enthält.
Weitere Aufgaben
- biquadratische Funktion: \(y(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^3+c\cdot x^2+d\cdot x+e\)
- allgemeine Sinusfunktion: \(y(t)=r\cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi)\)
- Exponentialfunktion: \(y(x)=r\cdot e^{c\cdot x}\)
Inhalte:
- absolute und relative Zellbezüge
- automatisches Ausfüllen
- xy-Diagramm