Mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms kann man einfach eine gegebene Funktion integrieren, d.h. den Flächeninhalt zwischen Funktionskurve und Abszisse ermitteln.
Ausgehend von der Darstellung einer Funktion \(y(x)\) berechnet man die Inhalte von Trapezflächen unter der Funktion: \(A_n=\frac{y_{n-1}+y_n}{2}\cdot\Delta x\) mit der Breite des Intervalls \(\Delta x=x_n-x_{n-1}\). Die eigentliche Funktion wird in diesem Intervall durch eine Gerade angenähert.
Diese Trapezflächeninhalte \(A_n\) werden in einer Spalte neben den Funktionswerten in der Tabelle berechnet. In einer weiteren Spalte der Tabelle addiert man diese Flächeninhalte und erhält damit näherungsweise das numerische Integral der Funktion. Je kleiner die Intervalle sind, desto genauer ist das Ergebnis.
Die Darstellung der Funktion und des Integrals erfolgt gemeinsam mit der Funktion in einem \(xy\)-Diagramm.
Beispiel kubische Funktion:
\(y(x) = a\cdot x^3+ b\cdot x^2 + c \cdot x + d\)
In der Spalte C der Abbildung werden jeweils die Trapezflächen zwischen zwei Stellen berechnet. Man erkennt in der Abblildung in der Zelle C3 leicht die Trapezformel wie oben angegeben.
In der Spalte D werden jeweils von Zeile 3 bis zur aktuellen Zelle diese Flächeninhalte aufsummiert.
Spalte E beinhaltet den Mittelwert der beiden entsprechenden Stellen. D.h. diesem Wert in der Mitte der einzelnen Intervalle wird dann der entsprechende Flächeninhalt bzw. das Integral zugeordnet. Für kleine \(\Delta x\) kann man das vernachlässigen.
Das Filmchen zeigt Schritt für Schritt den Aufbau der Tabelle in LibreOffice Calc. Die Zellbezüge entsprechen hier nicht jener in den obigen Abbildungen.
Das Beispiel mit Excel: integration.xls
Ausführungsvariante:
Inhalte:
- absolute und relative Zellbezüge
- automatisches Ausfüllen
- xy-Diagramm